对数_走词

在数学领域，对数（logarithm）是指数函的反函数。如果

定义及基本性质

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给定一个正实数

，其中

，将

个底数

相乘得到正实数

，此时指数为

，数学表述为

。换句话说，

以

为底的对数是唯一的实数

，记作

，读为“以

为底

的对数”或最常见的“

的以

为底的对数”。

一个等效且更简洁的定义是函数

是函数

的反函数。

加法、乘法和求幂是三种最基本的算数运算。加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法。而求幂的逆运算就是对数。求幂是将

（指数）个基数

连乘得到的幂值

，也就是：

，比如，

。求以

为底数的对数是求幂的逆运算，能从幂值

求出指数

，

，（

为正实数）。（如果

不是正实数，则可以手动定义求幂和对数，但可能因此变为多值函数，这使得定义更加复杂）

例如：

，因为

。
对数也可以是负数：

，因为

。
约为2.176，其介于2和3之间，这是由于150位于

以及

之间。
对于任何底数

，都满足关系

以及

，分别对应

以及

。

具有三个常用底数的对数函数图

对数恒等式

对数运算中几个重要的公式，也被称为对数定律，用来描述不同对数之间的关系。

乘积、商、幂和根

乘积的对数是被乘数的对数之和；商的对数是对数之差。一个数的

次方的对数是该数本身的对数的

倍；一个数的

次方根的对数是该数的对数除以

。下表列出了这些标识和示例。通过对数的定义式

或

，在下表中进行相应的计算，即可证明各恒等式的结论。

-	公式	例子
乘积
商
求幂
根

底数的变化

对数

可以使用以下公式从

和

相对于任意底数

的对数计算得出：

。

典型的科学计算器可以计算以10和

为底的对数。可以通过前面的公式，使于任何底数b的对数都变换为用这两个特殊底数对数来换算，也就是：

。

给定一个数字

及其对数

到未知底数

，底数就可以表示为

，该关系可以通过对定义式

求

次幂给出。

特殊底数

有3个常见底数，分别是

，

(数学常数，约为2.71828）和

。在数学分析中，以

为底的对数很常见。而以10为底的对数常用于十进制数字系统中的手动计算：

。

因此，

的小数位数与正整数

的位数有关：位数是严格大于

的最小整数。例如，

约为3.15。下一个整数是4，也就是1430的位数。自然对数和二进制对数在信息论中都有使用，分别对应使用奈特(nats)或者比特(bits)作为信息的基本单位。以2为底的对数称为二进制对数，二进制对数也用于计算机科学，其中二进制系统无处不在；在音乐理论中，音高比为二（即相差八度）是普遍存在的，任何两个音高之间的音分数是它们的比率乘以1200的二进制对数（即每等律半音100音分）；在摄影中，“stop”通常是用来表示曝光值（Exposure Value，EV）的单位。曝光值是一个综合考虑光圈、快门速度和感光度的量，通常用数字表示。两个曝光值之间的差异，如果用“stop”来度量，相当于曝光值之间的二进制对数差异。

下表列出了这些底数的常用对数符号以及使用它们的字段。当底数基本上可以从上下文中确定时，许多学科会省略底数

，直接写

而不是

。符号

也会出现。“ISO符号”栏列出了国际标准化组织(ISO80000-2)建议的名称。因为符号

已用于所有三个底数（或当底数不确定或无关紧要时），通常必须联系上下文或文章的学科领域来推断需要选择何种底数。在计算机科学中，通常指

，而在数学中通常指

。在其他情况下，

通常表示

。

底数	的命名	ISO符号	其它符号	应用领域
2	二进制对数			计算机科学，信息论，生物信息学，音乐理论，摄影
	自然对数		（通常出现在数学以及很多编程语言中），	数学，物理，化学，统计学，经济学，信息论和工程学
10	常用对数		, （出现在工程学，生物学及天文学中）	各种工程理论，对数表，手持计算器以及光谱学
	以为底的对数		-	数学

历史

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概念提出与发展

1614年，约翰·纳皮尔(英文：John Napier)在一本名为 Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio（对数奇妙法则的描述）的书中公开提出了对数方法。而在纳皮尔的发明之前，已经有类似范围的其他技巧，例如积化和差法(prosthaphaeresis)与数列表，在1600年左右数学家约斯特.比尔吉(英文：Jost Bürgi)发展了大量这类技巧。第一个实数对数的启发式方法就是将乘法转化为加法，从而实现了快速计算。其中一些方法使用从三角恒等式派生的表格。这种方法称为积化和差法。纳皮尔在中古拉丁语中创造了对数的术语“logarithmus”，源自希腊语，字面意思是“比率数”，来自logos“比例、比率、词”+arithmos“数”。

居住在布拉格的比利时耶稣会士格雷瓜尔·德·圣文森特(Grégoire de Saint-Vincent)试图对矩形双曲线求积分，从而发明了现在称为自然对数的函数。对数提供了一种将等比数列的比值关系转换为等差数列的加减关系的方式，由于其的这种特性，安东尼奥-德-萨拉萨（A. A. de Sarasa）将圣文森特的正交法与积化和差公式中的传统计算方法联系起来，从而产生了术语“双曲对数”，也就是自然对数。不久，这个新功能受到了物理学家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huyg）和数学家詹姆斯·格雷戈里（James Gregory）的赞赏。数学家莱布尼茨（G.W. Leibniz）于1675年采用了对数

的符号，第二年他将其与积分

联系起来。

现代对数的概念来自数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler），他在18世纪将对数与指数函数联系起来，并引入了字母

作为自然对数的底数。在欧拉发展出他的复数自然对数的现代概念之前，数学家罗杰柯特斯（Roger Cates）在1714年发表了几乎相同的结果

。

对数表和计算尺

在计算器和计算机出现之前，对数简化了困难的计算，为科学的进步做出了贡献，尤其是测量和天文学。皮埃尔-西蒙-拉普拉斯（Pierre-Simon marquis de Laplace）这样评论对数：“......（一种）令人钦佩的计算技巧，这种技巧将数月的劳动减少到几天，使天文学家的生命翻倍，并使他免于长时间计算所带来的错误和厌倦。”

对数表是使对数得到实际应用的一个关键工具。英国数学家亨利·布里格斯(Henry Briggs)于1617年编制了第一个此类表格，紧随纳皮尔的发明，但创新之处在于使用10作为底数。布里格斯的第一个表格包含1到1000范围内所有整数的常用对数，精度为14位。随后，人们编写了范围越来越大的表格。这些表列出了任意数字

的

在一定的范围内，在一定的精度下的值。以10为底的对数普遍用于计算，因此得名常用对数，因为相差10的倍数的数字，在整数部分相差1，

的常用对数可分为整数部分和小数部分，称为首数和尾数。对数表只需要包括尾数，因为可以通过从小数点开始计算数字来轻松确定该特性。

的特征是一与

的特征的和,而它们的尾数相同。因此，使用三位对数表，3542的对数就能近似为：

通过插值可以获得更高的精度：

的值可以通过同表反向查找来确定，因为对数是单调函数。

两个正数

和

的乘积和商通常计算为它们对数的和与差。乘积

或商

来自通过同一张表查找和或差的反对数：

和

。

对于需要任何可观精度的手动计算，执行两个对数的查找、计算它们的和或差以及查找反对数比通过早期方法（例如依赖于三角函数的积化和差公式）执行乘法要快得多。

幂和根的计算可以简化为乘法或除法和查找

和

。

包含了常用三角函数的对数值表格使得三角函数的计算变得更加容易。换句话说，人们可以通过这些表格来快速地进行三角函数的计算，节省了大量的时间和精力。

另一个重要的应用是计算尺，一对刻度呈对数分布的用于进行相应计算的尺子。在纳皮尔发明对数后不久，英国数学家埃德蒙冈特（Edmund Gunter）就发明了冈特尺(Gunter's rule)——一种非滑动的刻度尺。英国数学家威廉奥特莱德（William Oughtred）对其进行了改进，创造了计算尺——一对可以相对移动的对数刻度尺。对应数字的刻度的位置与其对数值成正比。滑动上刻度，也就相当于机械地添加对应的对数，如下所示：

滑动计算尺的示意图

例如，将下标尺上从1到2的距离与上标尺上从1到3的距离相加得到乘积6，在下面的尺子上我们也可以发现对应的数值。直到20世纪70年代，计算尺都是工程师和科学家必不可少的计算工具，它以牺牲精度为代价，实现了比对数表方法更有效率的计算。

解析特性

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对数的深入研究需要函数的概念。一个例子是从任何实数

产生

的

次方的函数，其中底数

是一个固定数。该函数写为

。对数函数的各类解析特性如下：

存在性

令

为不等于1的正实数并令

。

任何连续的严格单调函数在其域和值域之间都是双射的，这是实分析中的标准结果。这个事实是根据介值定理得出的。现在，

严格递增（对于

）或严格递减（对于

），是连续的，具有定义域

,并且有范围

.因此，

是来自

到

的双射。换句话说，对于每个正实数

，恰好有一个实数

使得

。

我们用

来表示

的反函数。

，也就是

，是唯一一个满足关系

的实数。这个函数称为底数为

的对数函数（或直接简称为对数）。

对数函数的图形

如上所述，对数函数

是指数函数

的反函数。因此，它们的图形是相互对应的，只需交换

和

坐标（或在对角线

处反射），如下图所示：函数

图形上的点

对应着对数的图形上的点

，反之亦然。因此，如果

大于1，则

会在

趋向正无穷时趋向正无穷（大于任何给定的数）。在这种情况下，

是一个递增的函数。当

大于0小于1时，

会在

趋向正无穷时趋向于负无穷。当

趋近于零时，如果

，则

趋向于负无穷（如果

，则趋向于正无穷）。

对数函数可以视作为指数函数(红色线)对x = y的镜面反射

导数和原函数

函数的解析性质传递给它们的反函数。因此，由于

是一个连续且可微分的函数，也是如此。粗略地说，如果连续函数的图形没有尖锐的“棱角”，则它是可微分的。此外，由于

的导数根据指数函数的性质计算为

，链式法则意味着

的导数为：

也就是说，在点

处与以b为底的对数图形相切的切线的斜率等于

。

的导数是

，在

时对数

值为0。以

作为底数，很多式子都能获得简化；这也是常数

重要的主要原因之一。

具有广义泛函参数

的导数为：

。

上式右侧的商称为f的对数导数。通过

的导数计算

的方法称为对数微分。自然对数

的原函数为：

可以使用底数变换公式从这个公式中推导出其他底数的对数反函数等相关公式，例如，对数的原函数等。

自然对数的积分表示

的自然对数可以定义为定积分：

这个定义的优点是它不依赖于指数函数或任何三角函数；该定义是根据简单倒数的积分得出的：作为一个积分

等于x轴和函数

的图形之间的面积，范围从

取到

。可以通过微积分基本定理以及可以通过微积分基本定理以及

的导数为

的事实所得出的结果。此公式还可推导出乘积对数公式和幂对数公式。例如，乘积公式

推导为：

等式(1)将积分分为两部分，而等式(2)对应变量的变化(

)。下面的图示中，将整个区域分为黄色部分和蓝色部分。将左侧的蓝色部分在垂直方向上扩大

倍，在水平方向上也缩小t倍，其面积大小并没有改变。通过适当的平移，将蓝色部分恰好移动到了函数

的曲线上。因此，从

到

的

的积分所对应的左侧蓝色面积，与从1到

的积分所对应的面积相同。这样的几何论证证明了等式(2)的正确性。

自然对数的乘积公式的可视化证明

幂公式

可以通过类似的方式导出：

。

第二个等号处使用了变量的变换(代换积分)，

。

自然数导数之和为

，

称为调和级数，它与自然对数密切相关：当

趋于无穷大时，差值

，

收敛至(即任意趋近于)一个称为欧拉-马歇罗尼(Euler–Mascheroni)常数的数字

。这种关系有助于分析如快速排序（quicksort）等算法的性能。

对数的超越性

不是代数数的实数被称为超越数，比如

和

就是超越数，而

不是。几乎所有的实数和复数都是超越数。对数就是一个超越函数的例子。格尔丰德-施奈德(Gelfond–Schneider)定理认为，对数函数通常会取超越数，即“比较难算”的值。

对数的计算

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在某些情况下，对数的计算很容易，比如

。通常，对数可以通过幂级数展开或求算术-几何平均值来计算，或者从预先计算的对数表中检索，该表提供固定的精度。牛顿法，一种用于近似解方程的迭代方法，也可以用于计算对数，因为它的反函数——指数函数可以更加高效地计算。使用查找表，类似CORDIC的方法可以使用加法和位移操作来计算对数。此外，二进制对数算法通过对x重复平方的方式，递归地计算

，这个过程中利用了以下关系：

。

泰勒级数

对于任意满足

的实数

，下列公式成立：

下面是一种简便的表述，表明

可以通过以下表达式逐渐逼近更加精确的值：

例如，对于

，第三个近似值是

，比

大约

。只要求和项的数量足够大，这个级数就能任意精确地逼近

。在微积分基础中，

就是这个级数的极限。这是自然对数在

处的泰勒级数。当

很小，

时，

的泰勒级数对

的逼近特别有用，因为此时：

例如，当

，一阶近似的值为

，这与实际结果0.0953仅有不到

的偏差。

反双曲正切函数

另一类级数是基于反双曲函数：

，

为满足

的任意实数。上述关系也可以写成求和的形式：

此级数可以通过上述泰勒级数得到。相比泰勒级数，它可以更快收敛，尤其是当

的取值趋近于1时。例如，当

，第二个级数展开方法的前三项给出的近似结果与

的实际结果相比，误差大概是

。这种在

趋近于1时快速收敛的特性可以用于如下这个方面：已知一个低精度的近似

，设

，

则

的对数为

最初的近似越精确，则

的取值就会越接近1，因此可以有效计算其对数值。

可以通过指数级数计算，而由于

并不是特别大，这个级数收敛的很快。对更大的

值的对数的计算可以被约化，因为存在关系

，于是有

。

在计算整数的对数时，存在一个和上式紧密相关的方法。令上述级数中

，则有

。

若已经知道了大整数

的对数值，则我们可以通过这个级数给出

的一个快速收敛的级数，其收敛速率为

。

算数-几何平均值近似

算数-几何平均值可以得到自然对数的高精度近似。佐佐木和卡纳达(Kanada)在1982年的研究结果给出这类方法在小数位400到1000位时非常快，而Taylor级数方法则通常在需要更低精确度时更快。在文章中

通过以下方法被近似到

的精度：

这里的

表示

和

的算术-几何平均数。算术-几何平均数的计算方法是，反复计算

和

的算术平均数(即

)和几何平均数

，然后将这两个数作为下一次迭代的

和

值进行计算。通过这样的迭代计算，

和

会很快收敛到一个共同的极限值，这个极限值就是

的值。在计算中，常常需要选择一个适当的初始值

，使得

从而确保所需要的精度。选取较大的初始值

会使得计算

需要更多的迭代步骤（由于初始

和

相差较大，所以需要更多的迭代才能达到收敛），但会得到更高的计算精度。常数

和

可以通过使用快速收敛的级数进行计算。

Feynman算法

物理学家理查德费曼（英文：Richard Feynman）在曼哈顿计划期间在洛斯阿拉莫斯国家实验室开发了一种比特处理算法，用于计算对数，类似于长除法。该算法利用了每个介于1和2之间的实数

可以表示为形如

的不同因子的乘积的事实。该算法顺序构建乘积P，从

和

开始：如果

，则将

更改为

。然后无论如何都要增加k。当k足够大以提供所需的精度时，计算终止。因为

是与那些包含因子

的

相对应的形式为

的项的总和，所以可以通过简单的加法计算

，并使用所有

的

的表。任何底数都可以用于对数表。

应用范围

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概率论与统计

对数也出现在概率论中：大数定律规定，对于一枚公平的硬币，随着抛硬币次数增加到无穷大，观察到的正面朝上的比例接近二分之一。这个比例实际的测量值相对于二分之一的波动（或涨落），可以用重对数率来描述。

对数也出现在对数正态分布中。当随机变量的对数服从正态分布时，称该变量服从对数正态分布。对数正态分布在湍流研究等许多领域都会出现，相关场景下一个变量是许多独立的正随机变量的乘积。

对数用于参数统计模型的最大似然估计。对于这样的模型，似然函数取决于至少一个必须被估计的参数。似然函数的最大值出现在与似然对数（“对数似然”）的最大值相同的参数值处，因为对数是递增函数。对数似然更容易最大化，尤其是对于独立随机变量的乘法似然。

本福德定律描述了许多数据集中首位数字的出现频率。根据本福德定律，无论测量单位如何，数据样本中某项的第一个十进制数字为d（从1到9）的概率等于

。因此，大约30%的数据可以预期以1作为第一位数字，18%的数字以2开头，以此类推。审计员可以检查对本福德定律的偏差，以检测财务造假。

对数变换是一种数据变换，用于使经验分布更接近假设分布。

分形

分形是具有自相似的几何对象，从某种意义上说，每个小部分粗略近似于整体结构。谢尔宾斯基三角形可以被自身的三个副本覆盖，每个副本的边长都是原始长度的一半。这使得该结构的豪斯多夫维数

。另一种基于对数的维数概念是通过计算覆盖所讨论的分形所需的框数获得的。鹦鹉螺壳的每个腔室都是下一个腔室的近似复制品，按常数因子缩放。这会产生对数螺线。

鹦鹉螺壳中的对数螺线

数论

自然对数与数论中的一个重要问题——素数计数（2，3，5，7，11，...）密切相关。对于任意整数

，小于或等于

素数数量用

表示。素数计数函数

是一个经典的数论函数，其性质一直是数学家研究的重要课题之一。素数定理是关于素数计数函数的一个基本定理，它断言

可以近似为

，这是由于当

趋近于无穷大时，

与这个分数的比值趋近于1。由此可以推出，在区间

中随机选择一个数是素数的概率与

的十进制位数成反比。更好的估计

的方法是使用偏移对数积分函数

，其定义如下：

黎曼假设是数学界最古老的公开数学猜想之一，它涉及比较素数计数函数

和偏移对数积分函数

的大小关系。厄多斯-卡茨定理描述了不同质因子的数量，也涉及到自然对数。

对于正整数

，其阶乘

的对数可以表示为：

。这个关系可以被用来得出斯特林（Stirling）公式，从而近似得到大

情况下

的数值。

用对数来描述尺度

科学量通常使用对数标度。例如，分贝是与对数标度量相关的测量单位。还有基于比值的常用对数——功率比：常用对数的10倍或电压比：常用对数的20倍。用于量化传输电信号时电压水平的损失，描述声学中声音的功率水平，以及光谱和光学领域中光的吸收率。描述相对于更有意义的信号时，不需要的噪声量的信噪比也以分贝为单位进行测量。同样，峰值信噪比通常用于评估声音质量，使用对数的声音，还可以用于使用对数的图像压缩方法。

地震的强度是通过取地震时释放的能量的常用对数来衡量的。这用于矩震级或里氏震级。例如，5.0级地震释放的能量是4.0级的32倍(

），而6.0级地震释放的能量是4.0级的1000倍(

)。视星等以对数方式测量恒星的亮度。在化学中十进制对数的负数，小数余对数,由字母p表示。例如，pH值水合氢活性的十进制余对数氢离子形式

吸水。水合氢离子在中性水中的活性为

，因此pH值为7。醋的pH值通常约为3。差值为4相当于浓度相差

，即醋的水合氢离子活度约为

。

半对数（对数线性）图使用对数尺标度概念进行可视化：一个轴，通常是垂直轴，按对数比标度。例如，右侧的图表将从从100万到1万亿的急剧增长压缩到与从1到100万的增长相同的空间（在垂直轴上）。在此类图中，形式为

的指数函数显示为斜率等于

的对数的直线。双对数图以对数方式缩放两个轴，这导致

形式的函数被描述为斜率等于指数

的直线。这适用于幂律的可视化和分析。

心理学

心理学研究发现，几乎没有接受过数学教育的人倾向于以对数方式估计数量，也就是说，让他们标记10与100之间的距离，可能会和100和1000之间的距离一样。在某些情况下，教育程度的提高将会改变这种情况，将其转变为线性估计（对应刚才的例子，100和1000之间的距离会是10和100之间的距离的10倍远），仅仅在目标数字很难进行线性标记时，才使用对数方法。

计算复杂度

算法分析是计算机科学的一个分支，研究算法（解决某特定问题的计算机程序）的性能。对数对于描述将问题分成更小的问题并加入子问题的解决方案的算法很有价值。

例如，要在排序列表中查找一个数字，二分搜索法会检查中间条目，如果仍未找到该数字，则继续查找中间条目之前或之后的那一半。该算法平均需要

次比较，其中

是列表的长度。类似地，合并排序算法通过将列表分成两半并在合并结果首先对未排序的列表进行排序。合并排序算法通常需要大约与

成正比的时间。此处没有指定对数的底数，因为当使用另一个底数时，结果只会改变一个常数因子。在标准统一成本模型下的算法分析中，常数因子通常被忽略。

如果函数

与

对数（精确或近似）成正比，则称函数

呈对数增长。例如，任何自然数

都可以用不超过

位的二进制形式表示。换句话说，存储

所需的内存量随

呈对数增长。

此外，由于对数函数

相对于x的增长非常缓慢，因此可以使用对数标度来压缩大规模科学数据。对数也出现在许多科学公式中，例如齐奥尔科夫斯基（Tsiolkovsky）火箭方程、芬斯克（Fenske）方程或能斯特（Nernst）方程。

熵与混沌

熵广泛地衡量了某些系统的混乱程度。在统计热力学中，一些物理系统的熵

被定义为

这个和是关于所讨论系统的所有可能状态

的，例如容器中气体粒子的位置。此外，

是达到状态

的概率，

是玻尔兹曼常数。同样，信息论中的熵度量的是信息量。如果消息接收者可能期望

个可能消息中的任何一个具有相同的可能性，那么任何一个这样的消息所传达的信息量被量化为

比特。

李亚普诺夫指数（Lyapunov exponent）使用对数来衡量一个动力系统的混乱程度。例如，对于在椭圆台球桌上运动的粒子，即使初始条件有微小的变化，也会导致粒子的路径大不相同。这样的系统在确定性方面是混沌的，因为初始状态的小测量误差可预见地导致了最终状态大不相同。确定性混沌系统的至少一个李亚普诺夫指数是正的。

音乐

对数与音调和音程有关。在同等音律中，频率比仅取决于两个音调之间的音程，而不取决于单个音调的特定频率或音高。例如，音符A的频率为440Hz，降B的频率为466Hz。A和降B之间的音程是一个半音，降B和B（频率493Hz）之间的音程也是半音。因此，频率比一致：

因此，可以使用对数来描述音程：半音的音程是通过取频率比的以

为底的对数来划分的，而频率比

为底的对数划分的音程，则称为音分，即百分之一半音。后者用于更精细的编码，因为它是非等律分音所需要的。

参考资料

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